הצגת המקור של הדף "ורסור"

ב[[מתמטיקה]], '''וֶרְסוֹר''' הוא איבר מנורמה 1 ב[[אלגברת הקווטרניונים של המילטון]]. לוורסורים קשר הדוק ל[[סיבוב]]ים של המרחב התלת־ממדי ויש להם שימושים רבים בגאומטריה חישובית. 

ורסורים הוגדרו לראשונה על ידי [[ויליאם רואן המילטון]]. שמם בא מהשורש היווני ורסרי שפרושו לסובב.

==ורסורים וסיבובים במרחב==

כל קווטרניון ניתן לכתוב בצורה <math> a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k} </math> כאשר <math> a,b,c,d </math> הם מספרים ממשיים. קווטרניונים שעבורם <math> a=0 </math> נקראים מדומים. אוסף הקווטרניונים המדומים הוא [[מרחב וקטורי]] תלת־ממדי.

אם <math> \mathbf{r} </math> הוא ורסור ו-<math> \mathbf{x} </math> הוא קווטרניון מדומה אז הקווטרניון <math> \mathbf{r^{-1} x r} </math> גם הוא מדומה וההעתקה <math> \mathbf{x\mapsto r^{-1} x r} </math> היא סיבוב במרחב התלת־ממדי של קווטרניונים מדומים. 

באופן מפורש, אם כותבים ורסור בצורה 
<math> \mathbf{r}=\cos(\theta)+\sin(\theta)\mathbf{v} </math>, כאשר <math> \mathbf{v} </math> הוא קווטרניון מדומה מנורמה 1 ו-<math> \theta\in[0,\pi] </math>, אז הסיבוב שמתאים ל-<math> \mathbf{r} </math> הוא הסיבוב בזווית <math> 2\theta </math> סביב הציר <math> \mathbf{v} </math>.

כל סיבוב במרחב מתקבל משני ורסורים בדיוק כי הסיבוב שמתאים לורסור <math> v</math> שווה לסיבוב שמתאים לורסור <math> -v </math>. תכונה חשובה היא שהרכבת הסיבובים שמתאימים לוורסורים <math> r_1,r_2 </math> היא הסיבוב שמתאים למכפלה <math> r_1r_2 </math>.

==כחבורת לי==

אוסף הוורסורים הוא [[חבורת לי]] קומפקטית פשוטה ופשוטת קשר. חבורה זה היא האיבר היחיד המשותף לשלוש הסדרות האינסופיות של חבורות לי קומפקטיות פשוטות ופשוטות קשר, סדרת [[חבורות הספין]], סדרת [[החבורות היוניטריות המיוחדות הקומפקטיות]], וסדרת [[החבורות הסימפלקטיות הקומפקטיות]]. אפשר לסמן אותה, לכן, בכל אחד מהסימונים <math> Spin(3) </math>, <math> SU(2) </math>, <math> Sp(1) </math>.

ההעתקה שמתאימה לכל ורסור סיבוב היא הומומורפיזם <math> Sp(1) \rightarrow SO(3) </math> שהוא כיסוי כפול. מכיוון שאוסף הוורסורים הוא, טופולוגית, ספירה תלת־ממדית, נובע שחבורת הסיבובים <math> SO(3) </math> הומיאומורפית למרחב הפרויקטיבי התלת־ממדי.

==ורסורים היפרבולים==

יש גם גרסה של אלגברת הקווטרניונים של המילטון עבור תבנית לורנץ על המרחב התלת־ממדי. הוורסורים באלגברה זו מתאימים לטרנספורמציות לורנץ.

[[קטגוריה:אלגברה]]