הצגת המקור של הדף "מספר סודר"

{{פירוש נוסף|נוכחי=מונח במתמטיקה|אחר=שימוש לשוני במונח זה|ראו=[[שם המספר]]}}
{{מפת תמונה
|תמונה=Omega-exp-omega-labeled.svg
|כיתוב תמונה=תצוגה גרפית של כל הסודרים מ-0 עד <math>\omega^\omega</math>
|רוחב קטן=300
|סימון=כן
|הצמדה=שמאל
|מיפוי=
circle 268 40 75 [[0 (מספר)|0]]
circle 440 182 75 [[1 (מספר)|1]]
circle 551 332 75 [[2 (מספר)|2]]
circle 572 494 75 [[3 (מספר)|3]]
circle 522 625 65 [[4 (מספר)|4]]
circle 439 706 60 [[5 (מספר)|5]]
circle 264 217 75 [[אומגה (מספר סודר)]]
}}
ב[[תורת הקבוצות]], '''מספר סודר''' (ב[[אנגלית]]: '''Ordinal number''') הוא [[טיפוס סדר]] של [[קבוצה סדורה היטב]]. את רעיון המספרים הסודרים הגה לראשונה אבי תורת הקבוצות [[גאורג קנטור]], במסגרת עבודתו על [[קבוצה נגזרת|קבוצות נגזרות]].

המוטיבציה להגדרת המספרים הסודרים מגיעה מהרצון [[הכללה (מתמטיקה)|להכליל]] את התכונות המועילות של ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]]. למספרים הטבעיים שני תפקידים עיקריים: 

* [[מנייה]] וייצוג [[כמות]]; 
* סדר ומיקום ב[[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]]. 

במסגרת תורת הקבוצות מגדירים את ה[[עוצמה (מתמטיקה)|מספרים המונים]] כהכללה של המספרים הטבעיים במובן הראשון, כך שניתן יהיה לייצג גם כמויות [[אינסוף|אינסופיות]]. המספרים הסודרים מוגדרים במטרה להכליל את המובן השני, כך שניתן יהיה לדבר על [[איבר (מתמטיקה)|איברים]] במקומות "אינסופיים" בסדרה.

המספרים הסודרים הראשונים הם המספרים הטבעיים <math>0,1,2,3,\dots</math> (בתורת הקבוצות מקובל להחשיב את <math>0</math> כמספר טבעי). לאחריהם מגיע הסודר האינסופי הראשון, <math>\omega</math> ([[אומגה]]). <math>\omega</math> מתאפיין בכך שהוא "הסודר הקטן ביותר שגדול מכל מספר טבעי". לאחריו מגיעים הסודרים: <math>\omega, \omega+1, \omega+2, \dots, \omega \cdot 2, \omega \cdot 2 + 1, \dots \omega^2, \omega^3, \dots, \omega^\omega, \dots, \omega^{\omega^\omega}, \dots, \varepsilon_0, \dots </math>

== הגדרה ==
למספרים הסודרים מספר [[הגדרה|הגדרות]], להלן הנפוצה שבהם.
{| border="1"
|קבוצה <math>\alpha</math> נקראת סודר אם מתקיימים התנאים הבאים: {{ש}} {{*}} <math>\alpha</math> היא [[קבוצה טרנזיטיבית]]. {{ש}} {{*}} יחס השייכות ל-<math>\alpha</math> הוא [[סדר טוב]] על <math>\alpha</math>.
|}
התכונה הראשונה שמופיעה מאפשרת הגדרת [[סדר (תורת החבורות)|סדר]] בין סודרים: עבור <math>\alpha,\beta</math> סודרים <math>\alpha<\beta \iff \alpha\in\beta</math>. כמו כן סדר זה בין סודרים הוא [[סדר טוב]].

=== עוקב ===
הגדרת [[אופרטור|פעולת]] '''העוקב''': <math>S(\alpha)=\alpha\cup \{\alpha\}</math>.

סודר <math>\alpha</math> ייקרא '''סודר עוקב''', אם קיים סודר אחר <math>\beta</math> כך שמתקיים <math>\alpha=S(\beta)</math>, ו'''סודר גבולי''' אחרת (לעיתים לא מתייחסים ל-[[0 (מספר)|0]] כאל סודר גבולי מטעמי נוחות).{{ש}}'''סודר מונה''' (לעיתים נקרא "סודר פותח") הוא סודר שאינו שווה-[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] לאף סודר קטן יותר.

[[אקסיומת היסוד]] מבטיחה שאם <math>\alpha</math> היא [[קבוצה טרנזיטיבית]] ויחס השייכות ל- <math>\alpha</math> הוא [[סדר קווי]] על <math>\alpha</math>, אז יחס זה הוא גם [[סדר טוב]] על <math>\alpha</math>.

== הסודרים הסופיים ==
סודר נקרא '''סודר סופי''' אם הוא <math>0=\{\}=\empty</math> או שהוא עוקב של סודר סופי.

[[מספר טבעי#הגדרה ובנייה|בניית המספרים הטבעיים]] של [[ג'ון פון נוימן]] מתלכדת עם המספרים הסודרים הסופיים:

<math>\begin{align}
0 &&&&&=\{\} &&=\empty \\
1 &&&=S(0) &&=\{0\} &&=\{\empty\} \\
2 &&&=S(1) &&=\{0,1\} &&=\{\empty,\{\empty\}\} \\
3 &&&=S(2) &&=\{0,1,2\} &&=\{\empty,\{\empty\}, \{\empty,\{\empty\}\}\} \\
4 &&&=S(3) &&=\{0,1,2,3\} &&=\{\empty, \{\empty\}, \{\empty,\{\empty\}\}, \{\empty,\{\empty\}, \{\empty,\{\empty\}\}\} \} \\
5 &&&=S(4) &&=\{0,1,2,3,4\} &&=\{\empty, \{\empty\}, \{\empty,\{\empty\}\}, \{\empty,\{\empty\}, \{\empty,\{\empty\}\}\}, \{\empty, \{\empty\}, \{\empty, \{\empty\}\}, \{\empty,\{\empty\}, \{\empty,\{\empty\}\}\} \} \} \\
\dots \\
n &&&=S(n-1) &&=\{0,1,2,...,n-1\}
\end{align}</math>

הסודרים הסופיים הם סודרים עוקבים וסודרים מונים.

== סודרים נוספים ==
[[קובץ:Omega squared.png|ממוזער|215px|המחשה של מבנה המספרים הסודרים: [[אינסוף]] [[סדרה (מתמטיקה)|סדרות]] של מספרים [[אינסוף|אינסופיים]].]]
לפי [[אקסיומת הקבוצה האינסופית]] קיימת קבוצת כל הסודרים הסופיים.{{ש}}קבוצה זו: <math>\omega=\bigcup_n n=\{0,1,2,...\}</math>, היא הסודר האינסופי הקטן ביותר.

ניתן להמשיך ולהגדיר סודרים נוספים בעזרת פעולת העוקב ובעזרת [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] הסודרים הקודמים. למשל:
* <math>\omega+1=S(\omega)=\omega\cup \{\omega\}=\{0,1,2,...,\omega\}</math>
* <math>\omega\cdot 2=0\cup 1\cup 2\cup ...\cup \omega\cup \omega+1\cup \omega+2\cup ...=\{0,1,2,...,\omega,\omega+1,\omega+2,...\}</math>

== תכונות ==
* כל איבר של סודר הוא סודר בעצמו;
* אם <math>\alpha</math> סודר, אז גם <math>\alpha\cup \{\alpha\}</math> סודר;
* אם <math>A</math> היא קבוצה של סודרים, אז <math>\bigcup_{\alpha\in A} \alpha</math> הוא סודר;
* אם <math>A</math> היא קבוצה (או [[מחלקה (תורת הקבוצות)|מחלקה]]) של סודרים, אז <math>\bigcap_{\alpha\in A} \alpha</math> הוא סודר. סודר זה הוא המינימום ב-<math>A</math>;
* עבור שני סודרים <math>\alpha,\beta</math> שונים, מתקיים בדיוק אחד מהבאים: <math>\alpha<\beta</math> או <math>\beta<\alpha</math>;
* קבוצת הסודרים הסופיים מהווים [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] ל[[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] של [[אקסיומות פאנו]].

תכונה מעניינת נוספת שמתקבלת היא [[הפרדוקס של בורלי-פורטי|הפרדוקס של בּוּרָלִי-פוֹרְטִי]], ששולל את קיום "קבוצת כל המספרים הסודרים". משום כך, לא ניתן לדבר בתורת הקבוצות על "קבוצת כל המספרים הסודרים", כשם שבגלל [[הפרדוקס של ראסל]] לא ניתן לדבר על "קבוצת כל הקבוצות". בלשון תורת הקבוצות, נאמר כי אוסף כל הסודרים הוא [[מחלקה (תורת הקבוצות)|מחלקה]] ולא קבוצה.

לכל קבוצה ויחס סדר שלה <math>(A,\leq)</math>, אם הסדר הוא סדר טוב קיים סודר <math>\alpha</math> יחיד כך ש- <math>A\cong \alpha</math>, כאשר הסימון <math>\cong</math> מציין שקיים [[איזומורפיזם]] ביניהם ([[פונקציה חד-חד-ערכית ועל]], ששומרת את הסדר בין האיברים). <math>\alpha</math> נקרא [[טיפוס סדר|טיפוס הסדר]] של <math>(A,\leq)</math> ומסומן <math>\mathrm{ort}(A,\leq)</math>.{{ש}}
נציין כי ניתן להגדיר מספר סדרים טובים על אותה קבוצה לפי יחס סדר שונה.

מהתכונה הנ"ל ניתן להסיק תכונה מעניינת נוספת: תהי קבוצה שניתנת לסידור טוב <math>A</math> (כלומר, שניתן להגדיר עליה סדר טוב אחד או יותר). נסתכל על קבוצת הסודרים שאיזומורפיים לה: <math>O=\{\mathrm{ort}(A,\leq) \mid \leq \text{well order of }A\}=\{\alpha \mid \alpha \text{ ordinal}, A\cong \alpha\}</math>. הקבוצה <math>O</math> היא קבוצה של סודרים.
כפי שאמרנו, חיתוך של קבוצת סודרים הוא סודר, ולכן <math>\bigcap O=\min O</math> סודר.{{ש}}כעת נוכל להגדיר את העוצמה של הקבוצה <math>A</math> כסודר המינימלי שאיזומורפי לה, קרי: <math>\mathrm{card}(A)=|A|=\min O=\bigcap O</math>.{{ש}}ניתן להראות שסודר מסוג זה הוא תמיד סודר מונה.

== הקשר בין סודרים לעוצמות ==
אחת המטרות של הגדרת הסודרים היא לתת [[ריגורוזיות|ביסוס פורמלי]] למושג העוצמה, ואכן ניתן להשיג מטרה זו בהנחת [[אקסיומת הבחירה]].
ב[[תורת הקבוצות האקסיומטית|מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל]], אקסיומת הבחירה שקולה ל[[משפט הסדר הטוב]], ולכן כל קבוצה ניתנת לסידור טוב, ומכאן הגדרת העוצמה שהוצגה קודם [[מוגדר היטב|מוגדרת היטב]] עבור כל קבוצה.

נוכל להגדיר את המספרים המונים בתור הסודרים המונים.{{ש}}
באופן זה נזהה כל מונה כסודר המונה שעוצמתו היא המונה הנ"ל, למשל את <math>\aleph_0</math> ([[אלף אפס|אָלֶף אֶפֶס]]) נזהה עם <math>\omega</math>.

תחת הגדרה זו ישנה [[טריכוטומיה]] בין עוצמות של קבוצות; כלומר, עבור שתי קבוצות <math>A,B</math> שונות זו מזו, מתקיים בדיוק אחד מהבאים: <math>|A|<|B|</math> או <math>|B|<|A|</math> (לא ניתן להוכיח זאת ללא אקסיומת הבחירה).

== פעולות בין סודרים ==
כפי שניתן להגדיר פעולות על מספרים מונים, ניתן גם להגדיר פעולות על מספרים סודרים.

פעולות על סודרים אינן בהכרח מתלכדות עם פעולות על [[מונים]]. למשל, <math>\omega</math> מזוהה עם <math>\aleph_0</math>, אולם לפי ההגדרה מטה <math>2^\omega=\omega</math>, בעוד שלפי [[משפט קנטור]] <math>2^{\aleph_0}>\aleph_0</math>.

=== חיבור ===
ניתן להגדיר חיבור סודרים במספר דרכים; נציג שתיים מתוכן:
==== הגדרה 1 ====
הגדרה זו היא הגדרה אינדוקטיבית.
* <math>\alpha+0=\alpha</math>, עבור חיבור עם <math>0</math>; 
* <math>\alpha+(\beta+1)=(\alpha+\beta)+1=S(\alpha+\beta)</math>, עבור חיבור סודר עוקב <math>\beta+1</math>;
* <math>\alpha+\beta=\bigcup_{\gamma<\beta} \alpha+\gamma</math>, עבור חיבור סודר גבולי <math>\beta</math>.
==== הגדרה 2 ====
נגדיר את <math>\alpha+\beta</math> באופן הבא: נסתכל על <math>\alpha\times \{0\}\cup\beta\times \{1\}</math> יחד עם יחס הסדר בו איברי <math>\alpha</math> שומרים על סדרם הפנימי, איברי <math>\beta</math> שומרים על סדרם הפנימי ואיברי <math>\alpha</math> קטנים מאיברי <math>\beta</math>. ניתן להראות, כי [[סדר חלקי|יחס סדר]] זה הוא יחס סדר טוב. כעת ניתן להגדיר את החיבור כ[[טיפוס סדר|טיפוס הסדר]] (ראו הגדרה מעלה) של האיחוד הנ"ל, תחת יחס הסדר המדובר: <math>\alpha+\beta=\mathrm{ort}(\alpha\times \{0\}\cup\beta\times \{1\},\leq)</math>.

ניתן להראות, כי שתי ההגדרות שהוצגו [[שקילות (לוגיקה)|שקולות]] זו לזו.

=== כפל ===
באופן דומה, ניתן להגדיר כפל סודרים במספר דרכים; נציג שתיים מתוכן:

==== הגדרה 1 ====
הגדרה זו היא הגדרה אינדוקטיבית, בדומה להגדרת החיבור.
* <math>\alpha\cdot 0=0</math>, עבור כפל ב-<math>0</math>;
* <math>\alpha\cdot (\beta+1)=(\alpha\cdot \beta)+\alpha</math>, עבור כפל בסודר עוקב <math>\beta+1</math>;
* <math>\alpha\cdot \beta=\bigcup_{\gamma<\beta} \alpha\cdot \gamma</math>, עבור כפל בסודר גבולי <math>\beta</math>.

==== הגדרה 2 ====
באופן דומה להגדרת החיבור השנייה, נגדיר <math>\alpha\cdot \beta=\mathrm{ort}(\alpha\times\beta, \leq)</math> כאשר יחס הסדר הוא יחס ה[[סדר אלפביתי|סדר הלקסיקוגרפי]].

=== חזקה ===
באופן דומה, ניתן להגדיר העלאה בחזקת סודרים במספר דרכים; נציג את אחת הדרכים.

בדרך זו נגדיר חזקה באופן אינדוקטיבי.
* <math>\alpha^0=1</math>, עבור העלאה בחזקת <math>0</math>;
* <math>\alpha^{\beta+1}=(\alpha^\beta)\cdot \alpha</math>, עבור העלאה בחזקת סודר עוקב <math>\beta+1</math>;
* <math>\alpha^\beta=\bigcup_{\gamma<\beta} \alpha^\gamma</math>, עבור העלאה בחזקת סודר גבולי <math>\beta</math>.

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=סודר#סוֹדֵר|שם ויקימילון=סוֹדֵר|ויקימילון 2=מספר סודר}}
* [[בועז צבאן]], [http://www.cs.biu.ac.il/~tsaban/SetTheory/sets.html החלום של קנטור], המחלקה למתמטיקה ומדעי המחשב, אוניברסיטת בר-אילן.
* {{לא מדויק|2011/05/23/cantor_inventing_ordinals/|איך קנטור המציא את הסודרים?}}
* {{לא מדויק|2023/01/12/ordinals|תורת הקבוצות - סודרים}}
* {{לא מדויק|2023/01/14/ordinal_arithmetic|תורת הקבוצות - אריתמטיקה של סודרים}}
* {{MathWorld}}

{{תורת הקבוצות}}
{{תרשים מערכות מספרים}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
[[קטגוריה:קבוצות סדורות]]