מבחן לוקאס-להמר למספרי מרסן

במתמטיקה, מבחן לוקאס להמר הוא מבחן ראשוניות למספרי מרסן. המבחן פותח במקור בידי אדוארד לוקאס ב-1878 ולאחר מכן שופר בידי דריק הנרי להמר בשנות ה-30 של המאה העשרים. על-שם אותם שני מתמטיקאים קרוי גם מבחן ראשוניות כללי, מבחן לוקאס-להמר.

המבחן מחשב בצורה מהירה את האיבר ה-$2^{p-2}$ בסדרת לוקאס $V(4,1)$ ובודק האם הוא שקול ל-0 מודולו $M$ (כאשר $M=2^p-1$ הוא המספר שצריך לבדוק את ראשוניותו).

המבחן

נתונים מספר ראשוני $2<p$, ומספר מרסן המתאים לו, $M=2^p-1$. המשימה היא לבדוק האם M ראשוני. נגדיר סדרה ${s}_i$ ברקורסיה: ${s}_0=4$, ולכל $i>0$ מוגדר ${s}_i=s_{i-1}^2-2$.

משפט. המספר M הוא ראשוני אם ורק אם ${s}_{p-2}\equiv 0(\mathrm{mod}M)$.

זהו מבחן יעיל ביותר, והוא משמש עד היום לבדיקת ראשוניות של מספרי מרסן. החישוב מבוצע כולו מודולו M, ודורש כ- p פעולות של העלאה בריבוע מודולריות. בייצוג בינארי אלו פעולות מהירות יחסית: הריבוע האמיתי של מספר מתקבל מסיכום ההזזות שלו כלפי מעלה, וחישוב השארית מודולו M מהיר במיוחד מכיוון ש- ${2}^p\equiv 1(\mathrm{mod}M)$, כך שתוצאת ההעלאה בריבוע מודולו M היא סכום שתי המחציות בריבוע שהתקבל. בסך הכול מדובר בכ- ${p}^3\approx (\log (M){)}^3$ פעולות בינאריות, מהיר יותר ממבחני הראשוניות האחרים כדוגמת אלגוריתם מילר-רבין הנחשב למהיר ביותר.

תמצית הוכחת המשפט

נסתפק כאן בסקירה של ההוכחה לכיוון אחד של המשפט: אם M ראשוני, אז ${s}_{p-2}\equiv 0(\mathrm{mod}M)$.

מכיוון ש-p אי-זוגי, ${2}^p-1\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ ולכן M הוא שארית ריבועית מודולו 3. אבל $M\equiv -1(\mathrm{mod}4)$, ולכן משפט ההדדיות הריבועית מבטיח כי 3 איננו שארית ריבועית מודולו M. מכיוון שכך, סיפוח השורש הריבועי x של 3 לשדה $\mathbb{\mathbb{Z}}/M\mathbb{\mathbb{Z}}$ יוצר את השדה הסופי מסדר ${M}^2$. בשדה הזה, נסמן $\alpha =2+x$.

כעת קל להווכח (באינדוקציה) ש- ${s}_i={\alpha }^{2^i}+{\alpha }^{-2^i}$, ובסופו של דבר ${s}_{p-2}=0$ אם ורק אם ${\alpha }^{2^{p-1}}={\alpha }^{\frac{M+1}{2}}=-1$. מכיוון שהשדה בעל מאפיין M, מתקיים ${\alpha }^M=2^M+x^M=2+3^{\frac{M-1}{2}}x=2-x={\alpha }^{-1}$, כלומר ${\alpha }^{\frac{M+1}{2}}=\pm 1$. כדי להשלים חלק זה של ההוכחה, יש להראות שלשורש ${2}^{-\frac{3M-1}{4}}(1+x)$ של $\alpha$ אין, בתורו, שורש ריבועי.

הכיוון ההפוך דומה, אלא שבמקום השדה בגודל ${M}^2$ יש לחשב בשדה בגודל ${Q}^2$ כאשר Q הוא גורם ראשוני של M שעבורו 3 איננו שארית ריבועית.

ראו גם

• מבחן לוקאס-להמר הכללי

לקריאה נוספת

Richard Crandall and Carl Pomerance (2001). Prime Numbers: A Computational Perspective, 1st edition, Springer. ISBN 0387947779. Section 4.2.1: The Lucas-Lehmer test, pp.167–170.

קישורים חיצוניים

• מבחן לוקאס-להמר למספרי מרסן, באתר MathWorld (באנגלית)

• GIMPS (The Great Internet Mersenne Prime Search)
• A proof of Lucas-Lehmer test