מיון מהיר

מיון מהיר

מחלקה	מיון (אלגוריתם)
סיבוכיות ממוצעת	$O(n\log n)$
סיבוכיות במקרה הגרוע	$O\left(n^2\right)$

איטרציה אחת של אלגוריתם מיון מהיר. 5 הוא "איבר הציר"; האיברים הצבועים באדום הם האיברים הגדולים מ-5; האיברים הצבועים בכחול הם האיברים שקטנים או שווים ל-5.

הנפשה של מיון מהיר

מיון מהיר (באנגלית: Quicksort) הוא אלגוריתם מיון השוואתי אקראי מהיר במיוחד בסדרות איברים גדולות.

האלגוריתם פותח על ידי איש מדעי המחשב הבריטי טוני הואר ב-1959 ופורסם ב-1961. האלגוריתם עדיין נמצא בשימוש נפוץ למשימות מיון.

סיבוכיות הזמן הממוצעת של האלגוריתם היא $O(n\log n)$ פעולות (כמו, למשל, מיון מיזוג), אך במקרה הגרוע עלול האלגוריתם לדרוש $O\left(n^2\right)$ פעולות (כמו, למשל, מיון בועות).

בפועל, אלגוריתם מיון מהיר נחשב לאלגוריתם המיון ההשוואתי היעיל ביותר הידוע, זאת מאחר שהסיכוי למקרה הגרוע הוא מאוד נמוך.

פרטי האלגוריתם

אלגוריתם מיון מהיר הוא אלגוריתם רקורסיבי הפועל בשיטת הפרד ומשול. צעדיו הם כדלקמן:

1. בהינתן סדרת איברים, בחר איבר מהסדרה באקראי (נקרא: pivot, או "איבר ציר").
2. סדר את כל האיברים כך שהאיברים הגדולים מאיבר הציר יופיעו אחרי האיברים הקטנים מאיבר הציר.
3. באופן רקורסיבי, הפעל את האלגוריתם על סדרת האיברים הגדולים יותר ועל סדרת האיברים הקטנים יותר.
4. תנאי העצירה של האלגוריתם הוא כאשר ישנו איבר אחד, ואז האלגוריתם מודיע כי הסדרה ממוינת.

מימוש האלגוריתם בפשטותו בפסאודו קוד נראה כדלקמן:

function quicksort(array)
    var list less, greater
    if length(array) ≤ 1
        return array
    select and remove a pivot value pivot from array
    for each x in array
        if x ≤ pivot then append x to less
        else append x to greater
    return concatenate(quicksort(less), pivot, quicksort(greater))

מימוש האלגוריתם בגרסתו החכמה יותר (מיון In Place, שבו העבודה מתבצעת על המערך המקורי) בפסאודו קוד נראה כדלקמן:

function quicksort(array, left, right)
    var pivotIdx, leftIdx = left, rightIdx = right
    if right - left > 0
        pivotIdx = (left + right) / 2
        while leftIdx <= pivotIdx and rightIdx >= pivotIdx
            while array[leftIdx] < array[pivotIdx] and leftIdx <= pivotIdx
                leftIdx = leftIdx + 1
            while array[rightIdx] > array[pivotIdx] and rightIdx >= pivotIdx
                rightIdx = rightIdx - 1;
            swap array[leftIdx] with array[rightIdx]
            leftIdx = leftIdx + 1
            rightIdx = rightIdx - 1
            if leftIdx - 1 == pivotIdx
                pivotIdx = rightIdx = rightIdx + 1
            else if rightIdx + 1 == pivotIdx
                pivotIdx = leftIdx = leftIdx - 1
        quicksort(array, left, pivotIdx - 1)
        quicksort(array, pivotIdx + 1, right)

מימוש האלגוריתם בפייתון:

הפונקציה הראשית היא quicksort והיא קוראת לפונקציה שעושה את המיון באמת partition. הפונקציה exchange היא פונקציית עזר בשביל הנוחות של המימוש בלבד.

<syntaxhighlight lang="python3"> def quicksort(arr, left, right):

   if left < right: # stopping point
       index = partition(arr, left, right)
       quicksort(arr, left, index-1)
       quicksort(arr, index+1, right)
       

def partition(arr, left, right):

   x = arr[right]
   i = left - 1
   j = left
   while j <= right-1:
       if arr[j] <= x:
           i += 1
           exchange(arr, i, j)
       j += 1
   exchange(arr, i+1, right)
   return i+1

def exchange(arr, i, j):

   arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]

</syntaxhighlight>

שיפורים ווריאציות של האלגוריתם

יעילות האלגוריתם תלויה בבחירת איבר הציר. אם - כתוצאה מ"מזל טוב" - איבר הציר הוא תמיד האיבר האמצעי בגודלו בסדרה, האלגוריתם לוקח $\mathrm{\Theta }(n\log n)$ . אם, מאידך - כתוצאה מ"מזל רע" - איבר הציר הוא האיבר הקטן ביותר או האיבר הגדול ביותר, אזי האלגוריתם לוקח $O\left(n^2\right)$. לכן, ישנה חשיבות רבה למציאת איבר הציר:

• לעיתים משתמשים אלגוריתמים בפועל בשיטת "חציון משלושה" על מנת לבחור איבר שעשוי להיות "מתאים יותר" מאשר איבר שרירותי.
• באופן תאורטי, ניתן למצוא את החציון בסדרה בזמן ליניארי, מה שמבטיח זמן ריצה של $\mathrm{\Theta }(n\log n)$, אך על אף העובדה שהאלגוריתם למציאת החציון רץ בזמן ליניארי, הגורמים הקבועים הכרוכים בו גבוהים למדי, מה שמוביל לזמן ריצה גבוה, ולחוסר שימוש בשיטה זו בפועל.
• לעיתים משתמשים במימוש של בחירת איבר הציר באופן אקראי כדי לאפשר סיכוי שווה לכל אחד מהאיברים בתחום להיבחר וכך לאפשר חלוקה מאוזנת יותר. במקרה בו המערך כבר ממוין, בחירת האיבר באופן אקראי דווקא תפגע ביעילות ותגדיל את זמן הריצה שלו. המימוש בפייתון של האלגוריתם האקראי הוא:

<syntaxhighlight lang="python3"> import random def rand_partition(arr, left, right):

   i = random.randint(left, right)
   exchange(arr, i, right)
   return partition(arr, right, left)

def randomized_quicksort(arr, left, right):

   if left < right: # stopping point
       index = rand_partition(arr, left, right) # changed to rand_partition instead of partition
       quicksort(arr, left, index-1)
       quicksort(arr, index+1, right)

</syntaxhighlight>

אחת התכונות של האלגוריתם היא שזמן הריצה שלו עבור קלטים קטנים במיוחד גדול ביחס לאלגוריתמים פשוטים, כגון מיון בחירה (selection sort). לכן, ביישומים רבים תנאי העצירה של האלגוריתם הוא עבור מספר קבוע כלשהו של איברים (7, למשל), ומשלב זה ואילך מתבצע המיון באמצעות אלגוריתם "מיון בחירה" או אלגוריתם דומה.

קיימת גרסה איטרטיבית (לא רקורסיבית) של המיון המהיר, אולם היא מורכבת לכתיבה ולא אינטואיטיבית.

ראו גם

• טוני הואר

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מיון מהיר בוויקישיתוף   

• סרטון אנימציה שמסביר את האלגוריתמים מיון מהיר ומיון בועות ומשווה ביניהם
• אנימציה של אלגוריתם המיון המהיר Quicksort בסוגי קלט שונים
• .html מיון מהיר, באתר MathWorld (באנגלית)