ממוצע מוכלל

במתמטיקה, ממוצע מוכלל (נקרא גם ממוצע חזקות, או ממוצע הולדר על שם המתמטיקאי אוטו הולדר), הוא משפחה של ממוצעים אשר מכלילה את הממוצעים הפיתגוריים (ממוצע חשבוני, ממוצע הנדסי וממוצע הרמוני) וכן ממוצעים נוספים כגון שורש ממוצע הריבועים.

הגדרה מתמטית

בהינתן מספר טבעי $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$, אוסף מספרים חיוביים $\overline{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ ומספר ממשי $p\ne 0$, הממוצע המוכלל של $\overline{x}$ מדרגה $p$ מוגדר להיות:

$M_p(\overline{x}):={\left(\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^p}{n}\right)}^{\frac{1}{p}}$

באופן דומה, בהינתן משקולות $\overline{w}=(w_1\dots ,w_n)$, הממוצע המשוקלל של $\overline{x}$ מדרגה $p$ עם המשקולות $\overline{w}$ מוגדר להיות:

$M_{p,\overline{w}}(\overline{x}):={\left(\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}{\sum _{i=1}^n{w}_i}\right)}^{\frac{1}{p}}$

שתי ההגדרות מתלכדות עבור המשקולות האחידות $\overline{w}=(1/n,\dots ,1/n)$

תכונות

הממוצע המוכלל מקיים את התכונות הבאות:

• חסימות - עבור כל $\overline{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ מתקיים $\min (\overline{x})\le M_p(\overline{x})\le \max (\overline{x})$. כלומר, הממוצע המוכלל חסום בין האיבר המינימלי למקסימלי ב-$\overline{x}$.
• סימטריות - עבור כל $\overline{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ ו-$\sigma :\{1,\dots ,n\}\to \{1,\dots ,n\}$ תמורה כלשהי, מתקיים כי $M_p(x_1,\dots ,x_n)=M_p(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})$. כלומר, הפונקציה $M_p$ סימטרית לסדר איברים.
• הומוגניות - עבור כל $\overline{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ ו-$\alpha >0$ כלשהו, ניתן להוכיח כי $M_p(\alpha x_1,\dots ,\alpha x_n)=\alpha M_p(x_1,\dots ,x_n)$. כלומר, $M_p$ היא פונקציה הומוגנית.
• ערך בשוויון איברים - עבור $x>0$ מתקיים כי $M_p(x,x,\dots ,x)=x$. כלומר, הממוצע של איברים זהים הוא האיבר עצמו.
• מונוטוניות באיברים - עבור $\overline{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ ו-$\overline{y}=(y_1,\dots ,y_n)$ כך ש-$x_i\le y_i$ לכל $1\le i\le n$, מתקיים כי $M_p(\overline{x})\le M_p(\overline{y})$. כלומר, הממוצע עולה כאשר הערכים עולים.
• מונוטוניות לפי $p$ - עבור $\overline{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ כלשהו ו-$p_1\le p_2$ מתקיים כי $M_{p_1}(\overline{x})\le M_{p_2}(\overline{x})$. כלומר, הממוצע עולה ככל שהדרגה שלו עולה. זוהי גרסה כללית של אי שוויון הממוצעים.
• קיבוציות - עבור $n,m\in \mathbb{\mathbb{N}}$, $\overline{x}=(x_{11},x_{12},\dots ,x_{ij},\dots ,x_{nm})$ ו-$y_i=M_p(x_{i1},\dots ,x_{im})$ לכל $1\le i\le n$, מתקיים $M_p(y_1,\dots ,y_n)=M_p(\overline{x})$. כלומר, ניתן לחשב את הממוצע המוכלל בשלבים על-ידי שימוש בקיבוץ איברים לקבוצות שוות גודל.
• רציפות לפי ערכים - עבור $\overline{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ כלשהו מתקיים כי $\underset{\overline{y}\to \overline{x}}{\lim }{M}_p(\overline{y})=M_p(\overline{x})$. כלומר, הפונקציה $M_p$ רציפה ב-$n$ ממדים.
• רציפות לפי $p$ - עבור $\overline{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ ו-$p\ne 0$ כלשהם מתקיים כי $\underset{p^{\prime }\to p}{\lim }{M}_{p^{\prime }}(\overline{x})=M_p(\overline{x})$. כלומר, הממוצע המוכלל רציף לפי הפרמטר $p$.

כלל התכונות (למעט סימטריות) נכונות גם עבור המקרה המשוקלל.

מקרים פרטיים

p שואף לאינסוף

ניתן להוכיח כי $\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(\overline{x})=\max (\overline{x})$. כלומר, הממוצע המוכלל שואף לערך המקסימלי ככל ש-$p$ שואף לאינסוף. על כן נהוג להגדיר $M_{\mathrm{\infty }}(\overline{x}):=\max (\overline{x})$.

הוכחה

מניחים בלי הגבלת הכלליות כי $x_1>x_2\ge \dots \ge x_n$. מסמנים:

$M=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(\overline{x})=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^p}{n}\right)}^{\frac{1}{p}}$

מבצעים את פונקציית הלוגריתם על שני הסעיפים ומשתמשים בכלל לופיטל כדי לקבל:

$\begin{array}{r}\ln (M)=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln \left(\sum _{i=1}^n{x}_i^p\right)-\ln (n)}{p}\\ =\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sum _{i=1}^n\ln (x_i)x_i^p}{\sum _{i=1}^n{x}_i^p}\\ =\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln (x_1)x_1^p+\sum _{i=2}^n\ln (x_i)x_i^p}{x_1^p+\sum _{i=2}^n{x}_i^p}\\ =\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln (x_1)+\sum _{i=2}^n\ln (x_i)\stackrel{\to 0}{\overbrace{{(x_i/x_1)}^p}}}{1+\sum _{i=2}^n\underset{\to 0}{\underbrace{{(x_i/x_1)}^p}}}\\ =\ln (x_1)\end{array}$

על ידי הפעלת פונקציית האקספוננט על שני הסעיפים מקבלים:

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(\overline{x})=M=x_1$

מש"ל.

p=2

במקרה שבו $p=2$ מתקבל כי:

$M_2(\overline{x})=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}{n}}$

זהו שורש ממוצע הריבועים.

p=1

במקרה שבו $p=1$ מתקבל כי:

$M_1(\overline{x})=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}$

זהו הממוצע החשבוני.

p=0

על אף שהממוצע המוכלל אינו מוגדר עבור $p=0$, ניתן להוכיח כי $\underset{p\to 0}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}$, וזה הממוצע ההנדסי. על כן, טבעי להגדיר את הממוצע המוכלל ב-$p=0$ להיות הממוצע ההנדסי.

הוכחה

מסמנים:

$M=\underset{p\to 0}{\lim }{M}_p(\overline{x})=\underset{p\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^p}{n}\right)}^{\frac{1}{p}}$

מבצעים את פונקציית הלוגריתם על שני הסעיפים ומשתמשים בכלל לופיטל כדי לקבל:

$\begin{array}{r}\ln (M)=\underset{p\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(\sum _{i=1}^n{x}_i^p\right)-\ln (n)}{p}\\ =\underset{p\to 0}{\lim }\frac{\sum _{i=1}^n\ln (x_i)x_i^p}{\sum _{i=1}^n{x}_i^p}\\ =\frac{\sum _{i=1}^n\ln (x_i)}{\sum _{i=1}^{n}1}\\ =\ln \left(\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\right)\\ \end{array}$

על ידי הפעלת פונקציית האקפוננט על שני הסעיפים מקבלים:

$\underset{p\to 0}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=M=\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}$

p=-1

במקרה שבו $p=-1$ מתקבל כי:

$M_{-1}(\overline{x})=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$

זהו הממוצע ההרמוני.

p שואף למינוס אינסוף

ניתן להוכיח כי $\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(\overline{x})=\min (\overline{x})$. כלומר, הממוצע המוכלל שואף לערך המינימלי ככל ש-$p$ שואף למינוס אינסוף. על כן נהוג להגדיר $M_{-\mathrm{\infty }}(\overline{x}):=\min (\overline{x})$.

הוכחה

ניתן להראות כי:

$\begin{array}{r}\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\frac{1}{\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(1/x_1,\dots ,1/x_n)}\\ =\frac{1}{\max (1/x_1,\dots ,1/x_n)}\\ =\min (x_1,\dots ,x_n)\end{array}$

מש"ל.

קישורים חיצוניים

• .html ממוצע מוכלל, באתר MathWorld (באנגלית)