מספר קפרקר

ערך זה עוסק במספר טבעי השווה לסכום הרישא והסיפא של הייצוג העשרוני של ריבועו. אם התכוונתם למספר 6174, ראו קבוע קפרקר.

מספר קַפְּרֵקַר הוא מספר טבעי, השווה לסכום הרישא והסיפא של הייצוג העשרוני של ריבועו. אפשר באותו אופן להגדיר מספרי קפרקר בכל בסיס אחר. המספרים קרויים כך על-שם המתמטיקאי ההודי דאטארייה רמאצ'אנדרה קפרקר.

בניסוח מדויק יותר, $X$ הוא מספר קפרקר (בבסיס $b$ ) אם אפשר לפרק $X = A + B$ כך שמתקיים עבור שלם $n$ כלשהו: $X^{2} = A \cdot b^{n} + B$ , כאשר $B < b^{n}$ .

תיאור מלא

Iannucci (ראו מקור להלן) הוכיח שמספרי קפרקר בבסיס b עם רישא באורך n עומדים בהתאמה מלאה לפירוקים של $b^{n} - 1$ לגורמים זרים. היינו, אם $b^{n} - 1 = d d^{'}$ כאשר d ו- 'd זרים, ו- $t$ הוא ההפכי של d מודולו 'd, המקיים $0 < t < d^{'}$ , אז d*t הוא "מספר קפרקר", וכל מספר קפרקר מתקבל באופן הזה. כך אפשר לתרגם את כל הבעיות הקשורות למספרי קפרקר לשאלות על מחלקים של מספרים מן הצורה $b^{n} - 1$ .

דוגמאות

דוגמה: 9 הוא מספר קפרקר, מכיוון ש- 81 = 9² ו- 9 = 1 + 8. גם 95121 מקיים את אותה תכונה:

95121² = 9048004641.

מספר זה ניתן לפצל לשני המספרים

90480 + 04641 = 95121

וכך חזרנו אל המספר המקורי. לכן 95121 הוא מספר קפרקר.

בסימוני התיאור לעיל, $9999 = d \cdot d^{'}$ עבור d=2439 ו- d'=41, וההפכי הוא $4 1^{- 1} \equiv 39 (\mod 2439)$ ; המספר 95121 מתקבל כמכפלה $2439 * 39$ .

מספרי קפרקר הקטנים ביותר בבסיס 10 הם:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

בבסיס בינארי, כל המספרים המשוכללים הזוגיים הם גם מספרי קפרקר.

קל להוכיח שכל מספר בבסיס b שהוא מהצורה $b^{n} - 1$ הוא מספר קפרקר: $(b^{n} - 1)^{2} = b^{2 n} - 2 b^{n} + 1$ ומספר זה ניתן לפצל לרישא $b^{n} - 2$ ולסיפא 1, שסכומם הוא המספר המקורי $b^{n} - 1$ (תכונה זו נשמטה מעיניו של קפרקר במאמר שבו הציג את המספרים לראשונה). לפיכך בכל בסיס קיימים אינסוף מספרי קפרקר.

קישורים חיצוניים

String Module Error: Target string is empty.html מספר קפרקר, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.

D. R. Kaprekar, On Kaprekar numbers, Journal of Recreational Mathematics, 13 (1980-1981), 81-82.
M. Charosh, Some Applications of Casting Out 999...'s, Journal of Recreational Mathematics 14, 1981-82, pp. 111-118
Douglas E. Iannucci, The Kaprekar Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000), http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/iann2a.html

מספרי קפרקר באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים

מספר קפרקר

תיאור מלא

דוגמאות

קישורים חיצוניים

תפריט ניווט

חיפוש