נוסחאות ניוטון-קוטס

באנליזה נומרית, הנוסחאות של ניוטון-קוטס, הנקראות גם כללי הריבוע של ניוטון-קוטס או פשוט כללי ניוטון-קוטס, הן קבוצה של נוסחאות לאינטגרציה נומרית (נקראת גם ריבוע) המבוססת על הערכת האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. הם נקראים על שם אייזק ניוטון ורוג'ר קוטס.

נוסחאות ניוטון-קוטס יכולות להיות שימושיות אם ניתן הערך של האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. אם אפשר לשנות את הנקודות שבהן מוערך האינטגרנד, אז כנראה ששיטות אחרות כמו תרבוע גאוס ותרבוע קלנשו-קרטיס (אנ') מתאימות יותר.

תיאור

ההנחה היא שערך הפונקציה $f$ המוגדרת ב $[a, b]$ ידוע ב $n + 1$ נקודות שוות מרחק: $a \leq x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} \leq b$ . ישנן שתי מחלקות של ריבוע ניוטון-קוטס: הן נקראות "סגורות" כאשר $x_{0} = a$ ו $x_{n} = b$ , כלומר הן משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה של המרווחים, ו"פתוחות" כאשר $x_{0} > a$ ו $x_{n} < b$ , כלומר הן לא משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה. שימוש בנוסחאות ניוטון-קוטס באמצעות $n + 1$ נקודות ניתן להגדרה (עבור שתי המחלקות) כ- ^[1] $\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \sum_{i = 0}^{n} w_{i} f (x_{i}),$ כאשר

עבור נוסחה סגורה, $x_{i} = a + i h$ , עם $h = \frac{b - a}{n}$ ,
עבור נוסחה פתוחה, $x_{i} = a + (i + 1) h$ , עם $h = \frac{b - a}{n + 2}$ .

המספר $h$ נקרא גודל צעד, $w_{i}$ נקראות משקולות .

ניתן לחשב את המשקולות כאינטגרל של פולינומי לגרנז' בסיסיים. הם תלויים רק ב $x_{i}$ ולא על הפונקציה $f$ .

יהי $L (x)$ פולינום האינטרפולציה בצורת לגראנז' עבור הנקודות $(x_{0}, f (x_{0})), (x_{1}, f (x_{1})), \dots, (x_{n}, f (x_{n}))$ , אזי $\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} L (x) d x = \int_{a}^{b} (\sum_{i = 0}^{n} f (x_{i}) l_{i} (x)) d x = \sum_{i = 0}^{n} f (x_{i}) \underset{w_{i}}{\underset{⏟}{\int_{a}^{b} l_{i} (x) d x}} .$

חוסר יציבות לדרגה גבוהה

ניתן לבנות נוסחת ניוטון-קוטס בכל דרגה $n$ . עם זאת, עבור $n$ גדול כלל ניוטון-קוטס יכול לפעמים לסבול מתופעת רונגה (אנ') ^[2] שבה השגיאה גדלה באופן אקספוננציאלי עבור $n$ גדול. שיטות כמו נצב גאוס וניצב קלנשאו-קרטיס עם נקודות מרווחות באופן לא שווה (מקובצות בנקודות הקצה של מרווח האינטגרציה) הן יציבות ומדויקות הרבה יותר, ובדרך כלל הן מועדפות על ניוטון-קוטס. אם לא ניתן להשתמש בשיטות אלו, מכיוון שהאינטגרנד ניתן רק ברשת הניתנת בחלוקה שווה, אז ניתן להימנע מהתופעה של Runge באמצעות כלל מורכב, כפי שיוסבר להלן.

לחלופין, ניתן לבנות נוסחאות ניוטון-קוטס יציבות באמצעות קירוב ריבועים קטנים במקום אינטרפולציה. כך ניתן לבנות נוסחאות יציבות מבחינה נומרית גם לדרגות גבוהות. ^[3] ^[4]

נוסחאות סגורות של ניוטון-קוטס

טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הסגור. עבור $0 \leq i \leq n$ , יהי $x_{i} = a + i h$ כאשר $h = \frac{b - a}{n}$ , ו $f_{i} = f (x_{i})$ .

**נוסחאות ניוטון-קוטס סגורות**
$n$	גודל צעד $h$	שם נפוץ	נוּסחָה	מונח שגיאה
1	$b - a$	כלל טרפז	$\frac{1}{2} h (f_{0} + f_{1})$	$- \frac{1}{12} h^{3} f^{(2)} (ξ)$
2	$\frac{b - a}{2}$	כלל סימפסון	$\frac{1}{3} h (f_{0} + 4 f_{1} + f_{2})$	$- \frac{1}{90} h^{5} f^{(4)} (ξ)$
3	$\frac{b - a}{3}$	חוק 3/8 של סימפסון	$\frac{3}{8} h (f_{0} + 3 f_{1} + 3 f_{2} + f_{3})$	$- \frac{3}{80} h^{5} f^{(4)} (ξ)$
4	$\frac{b - a}{4}$	הכלל של בולה	$\frac{2}{45} h (7 f_{0} + 32 f_{1} + 12 f_{2} + 32 f_{3} + 7 f_{4})$	$- \frac{8}{945} h^{7} f^{(6)} (ξ)$

הכלל של בולה מכונה לעיתים הכלל של בודה, כתוצאה מהפצת טעות דפוס ב־Abramowitz and Stegun, ספר עיון מוקדם. ^[5]

המעריך של גודל הצעד h ברכיב השגיאה מגדיר את הקצב שבו יורדת שגיאת הקירוב. סדר הנגזרת של f ברכיב השגיאה מגדיר את הדרגה הנמוכה ביותר של פולינום שלא ניתן עוד לשלב במדויק (כלומר בשגיאה שווה לאפס) עם הכלל הזה. את המספר $ξ$ יש לקחת מהקטע (a, b ), לפיכך תחום השגיאה שווה לרכיב השגיאה כאשר $f (ξ) = \max (f (x)), a < x < b$ .