סימן לוי-צ'יוויטה

ייצוג וויזואלי של הטנזור

במתמטיקה ובפיזיקה, סימן לֵוִי־צִ'יוִיטָה (באנגלית: Levi-Civita symbol, על שמו של המתמטיקאי טוליו לוי-צ'יוויטה) הוא פונקציה אנטי־סימטרית על אינדקסים. סימן לוי־צ'יוויטה מסומן באות היוונית אפסילון (ε), ומאפשר במקרים מסוימים לקצר את רישומן של פעולות על וקטורים ועל טנזורים.

הגדרה

סימן לוי-צ'יוויטה הבסיסי מוגדר לשלשה של אינדקסים $(i,j,k)$ באופן הבא:

$${ϵ}_{ijk}=\{\begin{array}{ll}+1,& (i,j,k)\text{ is }(1,2,3),(2,3,1)\text{ or }(3,1,2)\\ -1,& (i,j,k)\text{ is }(3,2,1),(1,3,2)\text{ or }(2,1,3)\\ 0,& \text{otherwise: }i=j\text{ or }j=k\text{ or }k=i\end{array}$$

תכונות והכללה

סימן לוי־צ'יוויטה מתאר את זוגיות התמורה $(1,2,3)\mapsto (i,j,k)$: הוא שווה ל־(‎+1) אם התמורה זוגית, ל־(‎-1) אם התמורה אי־זוגית, ול־0 אם לפחות שניים מהאינדקסים זהים (כלומר, הפונקציה איננה תמורה).

מתיאור זה נובעת הכללה של סימן לוי־צ'יוויטה לכל n-יה סדורה של אינדקסים (אם $n>3$):

• הוא שווה ל־(‎+1) אם האינדקסים הם תמורה זוגית של $(1,2,3,\cdots ,n)$.
• הוא שווה ל־(‎-1) אם האינדקסים הם תמורה אי-זוגית של $(1,2,3,\cdots ,n)$.
• הוא שווה ל־0 אם יש לפחות שני אינדקסים זהים.

זהויות

עבור $n=3$, סימן לוי-צ'יוויטה מקיים מספר זהויות ראויות לציון עם הדלתא של קרונקר:

• $\sum _{i=1}^3{ϵ}_{ijk}{ϵ}_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$
• $\sum _{i,j=1}^3{ϵ}_{ijk}{ϵ}_{ijn}=2{\delta }_{kn}$

ולכל מספר של אינדקסים, מתקיים

• $\sum _{i,j,k,\dots =1}^n{ϵ}_{ijk\dots }{ϵ}_{ijk\dots }=n!$

שימושים

באנליזה וקטורית במרחב תלת-ממדי, משמש סימן לוי־צ'יוויטה להגדרת מכפלה וקטורית:

$\mathbf{a}\mathbf{\times }\mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}{\mathbf{e}}_{\mathbf{1}}& {\mathbf{e}}_{\mathbf{2}}& {\mathbf{e}}_{\mathbf{3}}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ \end{array}\right|=\sum _{i,j,k=1}^3{ϵ}_{ijk}{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}{a}_j{b}_k$

ביתר פשטות, אם $\mathbf{a}\mathbf{\times }\mathbf{b}=\mathbf{c}$, אז

$c_i=\sum _{j,k=1}^3{ϵ}_{ijk}{a}_j{b}_k$

או בכתיב מקוצר, לפי הסכם הסכימה של איינשטיין:

${\left(\mathbf{a}\mathbf{\times }\mathbf{b}\right)}_i={ϵ}_{ijk}{a}_j{b}_k$

באופן דומה, אם מסמנים $(x,y,z)=(x_1,x_2,x_3)$, אפשר להגדיר בעזרת סימן לוי־צ'יוויטה את הרוטור:

$$\begin{gathered} {(\mathrm{curl} \\ \mathbf{a})}_i={(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{a})}_i=\sum _{j,k=1}^3{ϵ}_{ijk}\frac{\partial a_k}{\partial x_j} \end{gathered}$$

ראו גם

• תמורה (מתמטיקה)
• חבורת התמורות $S_n$
• טנזור
• הדלתא של קרונקר

קישורים חיצוניים

• .html סימן לוי-צ'יוויטה, באתר MathWorld (באנגלית)